LA@初等变换@行阶梯形矩阵@行最简形矩阵@等价标准形矩阵

文章目录

矩阵的初等变换🎈学习脉络等价矩阵😊行等价列等价等价矩阵的性质

定理行`阶梯形`矩阵👺文字描述:符号化描述阶梯

行简化矩阵👺列变换与同解问题行阶梯形矩阵的一般形式😊最密行阶梯形式变换步骤

行简化阶梯形矩阵@RREF等价标准形矩阵👺等价标准形矩阵的性质变换步骤例

可转化性基本原理😊可行最简化定理可标准换定理行阶梯形矩阵非零行数不变性行最简化唯一性

小结

LA初等变换@初等矩阵#逆矩阵计算@初等变换法

矩阵的初等变换🎈

矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算

初等变换有三类,都是可逆的,且各类变换的逆变换是同类型的(执行初等变换

δ

\delta

δ后执行

δ

\delta

δ的逆变换,矩阵仿佛不曾变换)

以行与列区分初等变换又可以分为行变换和列变换

仅以行变换为例介绍三类初等变换(此时成为初等行变换):

交换:交换矩阵的某两行位置

r

i

↔

r

j

r_i\leftrightarrow{r_j}

ri​↔rj​;其逆变换是其本身

倍乘:用一个非零常数k乘以矩阵的某一行

k

×

r

i

,

k

≠

0

k\times r_i,k\ne{0}

k×ri​,k=0;其逆变换为

r

i

×

k

−

1

r_i\times k^{-1}

ri​×k−1

倍加:将矩阵的某一行乘以非零常数k后加到另一行:

k

r

i

+

r

j

,

k

≠

0

kr_i+r_j,k\ne{0}

kri​+rj​,k=0;其逆变换为

r

i

+

(

−

k

r

j

)

r_i+(-k_rj)

ri​+(−kr​j)

学习脉络

由高斯消元法引入矩阵的初等变换,以下简称初等变换

由初等变换建立矩阵的秩的概念

利用初等变换讨论矩阵的秩的性质

利用矩阵的秩讨论线性方程组解的情况(充要条件)

利用初等变换求解线性方程组

利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵

…

Note:可见,矩阵的初等变换对于研究线性方程组是十分重要的

等价矩阵😊

如果矩阵B可以由矩阵A经过有限次初等变换得到,则称A和B为等价矩阵,记为

A

≅

B

A\cong{B}

A≅B或

A

∼

B

A\sim{B}

A∼B(符号具体取决于上下文)

其中

≅

\cong

≅式全等(congruent)号,在此处是描述矩阵等价而不是像几何全等中全等记号说明:

同济版教材使用

∼

\sim

∼而非

≅

\cong

≅表示等价,这个习惯不太符合直觉,其他文献资料常用

≅

\cong

≅描述矩阵等价,而用

∼

\sim

∼描述矩阵相似,矩阵相似可以推出矩阵等价,这里的等价不同于全等矩阵等价是指任何一个矩阵可以对应一个线性方程组的增广矩阵;对矩阵的初等变换对应到线性方程组上的高斯消元法,不会改变方程组的解,因此这里的等价是指线性方程组之间的同解,初等变换的可逆性

行等价

如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B,称矩阵A与B行等价,记为

A

∼

r

B

A\overset{r}\sim{B}

A∼rB;

列等价

如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B,称矩阵A与B列等价,记为

A

∼

c

B

A\overset{c}{\sim}B

A∼cB

等价矩阵的性质

A

≅

A

A\cong{A}

A≅A

若

A

≅

B

则

B

≅

A

若A\cong{B}则B\cong{A}

若A≅B则B≅A

若

A

≅

B

,

B

≅

C

则

A

≅

C

若A\cong{B},B\cong{C}则A\cong{C}

若A≅B,B≅C则A≅C

定理

设

A

,

B

A,B

A,B为

m

×

n

m\times{n}

m×n矩阵:

A

∼

r

B

A\overset{r}\sim{B}

A∼rB的充要条件是存在m阶可逆矩阵P,使得

P

A

=

B

PA=B

PA=B

A

∼

c

B

A\overset{c}\sim{B}

A∼cB的充要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使得

A

Q

=

B

AQ=B

AQ=B

A

∼

B

A\sim{B}

A∼B的充要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得

P

A

Q

=

B

PAQ=B

PAQ=B

行阶梯形矩阵👺

Row Echelon Form,记为REF-Matrix

文字描述:

若有零行(矩阵中元素全为0的行),则零行都位于矩阵下方(特点1)从第一行起,每行的主元(第一个非零元素)前面零的个数逐行增加(严格增加). (特点2)

符号化描述

设矩阵

A

A

A是

m

×

n

m\times{n}

m×n的,记矩阵的第

i

i

i行的主元存在,记为

θ

(

i

)

\theta(i)

θ(i)为该行主元;该主元所在的列号记为

j

(

i

)

j(i)

j(i),此时

j

(

i

)

⩽

n

j(i)\leqslant{n}

j(i)⩽n,如果第

i

i

i行主元不存在(全为0)则构造虚拟非零元,使之

j

(

i

)

j(i)

j(i)=

n

+

i

n+i

n+i,此时

j

(

i

)

>

n

j(i)>n

j(i)>n若矩阵A满足:

j

(

i

)

<

j

(

i

+

1

)

j(i)

j(i)

i

=

1

,

⋯

,

m

−

1

i=1,\cdots,m-1

i=1,⋯,m−1,则矩阵

A

A

A是行阶梯形矩阵矩阵A中的

i

i

i行的非零元素(如果有),则可以表示为

θ

(

i

)

=

a

i

,

j

(

i

)

\theta(i)=a_{i,j(i)}

θ(i)=ai,j(i)​

阶梯

行阶梯形矩阵的阶梯是指在行阶梯形矩阵中可以画一条从第一行某元的左侧的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线:具体满足以下条件

左下方的元全为0每段竖线的高度为一行竖线的右侧的第一个元是非零元(非零行的首非零元) 具有符合上述要求的阶梯线的矩阵称为行阶梯形矩阵

行简化矩阵👺

在行阶梯形矩阵的条件下,还额外满足:“01条件”,则称为行简化或行最简形矩阵

文字描述

非零行首元均为1非零元所在列的其他元均为0 符号描述

设

a

k

,

j

(

i

)

a_{k,j(i)}

ak,j(i)​表示阶梯形矩阵的

m

0

m_0

m0​非零行中第

i

i

i行的主元所在列的第

k

k

k个元素,

a

k

,

j

(

i

)

=

{

0

,

k

≠

i

1

,

k

=

i

;

i

=

1

,

⋯

,

m

0

a_{k,j(i)}= \begin{cases} 0,k\neq{i} \\ 1,k=i \end{cases}; i=1,\cdots,m_0

ak,j(i)​={0,k=i1,k=i​;i=1,⋯,m0​

列变换与同解问题

对某个表示线性方程组的系数矩阵进行初等列变换中的列交换

c

i

↔

c

j

c_i\leftrightarrow{c_j}

ci​↔cj​(常数列不参于交换),不会导致方程组的解发生变化(将

x

i

,

x

j

x_i,x_j

xi​,xj​一并调换)但是对于列变换中的列倍乘和列倍加可能导致变解(解不一致) .

行阶梯形矩阵的一般形式😊

行阶梯形矩阵的一般形式可以设为如下矩阵A的形式:

A

m

×

n

=

(

c

11

c

12

⋯

c

1

r

c

1

,

r

+

1

⋯

c

1

n

0

c

22

⋯

c

2

r

c

2

,

r

+

1

⋯

c

2

n

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

0

0

⋯

c

r

r

c

r

,

r

+

1

⋯

c

r

n

0

0

⋯

0

0

⋯

0

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

0

0

⋯

0

0

⋯

0

)

=

(

U

r

×

r

R

r

×

t

0

s

×

r

0

s

×

t

)

r

+

s

=

m

;

r

+

t

=

n

A_{m\times{n}}=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 r} & c_{1,r+1} & \cdots & c_{1 n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2 r} & c_{2,r+1} & \cdots & c_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{r r} & c_{r,r+1} & \cdots & c_{rn} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} U_{r\times{r}}&R_{r\times{t}}\\ 0_{s\times{r}}&0_{s\times{t}} \end{pmatrix} \\r+s=m;r+t=n

Am×n​=

​c11​0⋮00⋮0​c12​c22​⋮00⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​c1r​c2r​⋮crr​0⋮0​c1,r+1​c2,r+1​⋮cr,r+1​0⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​c1n​c2n​⋮crn​0⋮0​

​=(Ur×r​0s×r​​Rr×t​0s×t​​)r+s=m;r+t=n

矩阵

A

A

A的左上角是一个上三角矩阵

r

×

r

r\times{r}

r×r,记为

U

r

U_r

Ur​

矩阵A中含有非零行有

r

r

r行(

r

⩽

m

i

n

(

m

,

n

)

r\leqslant{min(m,n)}

r⩽min(m,n))

最密行阶梯形式

最密阶梯形式是指

U

r

U_r

Ur​对角线都不为零的行阶梯行矩阵

这种矩阵便于作线性方程组解的情况的分析

关于

U

r

U_r

Ur​对角线上的元素的非零化:

初等列变换中,对系数矩阵列交换不改变方程组的解(若执行

c

i

↔

c

j

c_i\leftrightarrow{c_j}

ci​↔cj​列交换,则求出来的解也需要相应的未知数交换

x

i

↔

x

j

x_i\leftrightarrow{x_j}

xi​↔xj​)由于

A

A

A的前

r

r

r行是非零行,它们都至少存在一个非零元素因此若

c

k

k

=

0

c_{kk}=0

ckk​=0,可以通过列交换,是的

c

k

k

≠

0

c_{kk}\neq{0}

ckk​=0,类似的,通过列交换,可以使得使得

U

r

U_r

Ur​的主对角线

c

i

i

(

i

=

1

,

2

,

⋯

,

r

)

c_{ii}(i=1,2,\cdots,r)

cii​(i=1,2,⋯,r)是全为非0元素.(

c

i

i

≠

0

,

i

=

1

,

2

,

⋯

,

r

c_{ii}\neq{0},i=1,2,\cdots,r

cii​=0,i=1,2,⋯,r) 进一步的,执行有限步的初等行变换,能够将最密行阶梯矩阵的阶梯主元都化为1而不改变方程组的解

Q

m

×

n

=

(

1

0

⋯

0

c

1

,

r

+

1

′

⋯

c

1

n

′

0

1

⋯

0

c

2

,

r

+

1

′

⋯

c

2

n

′

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

0

0

⋯

1

c

r

,

r

+

1

′

⋯

c

r

n

′

0

0

⋯

0

0

⋯

0

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

0

0

⋯

0

0

⋯

0

)

=

(

E

r

×

r

T

r

×

t

0

s

×

r

0

s

×

t

)

r

+

s

=

m

;

r

+

t

=

n

Q_{m\times{n}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c'_{1,r+1} & \cdots & c'_{1 n} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c'_{2,r+1} & \cdots & c'_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c'_{r,r+1} & \cdots & c'_{rn} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E_{r\times{r}}&T_{r\times{t}}\\ 0_{s\times{r}}&0_{s\times{t}} \end{pmatrix} \\r+s=m;r+t=n

Qm×n​=

​10⋮00⋮0​01⋮00⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​00⋮10⋮0​c1,r+1′​c2,r+1′​⋮cr,r+1′​0⋮0​⋯⋯⋯⋯⋯​c1n′​c2n′​⋮crn′​0⋮0​

​=(Er×r​0s×r​​Tr×t​0s×t​​)r+s=m;r+t=n

A

x

=

b

Ax=b

Ax=b和

Q

x

=

b

Qx=b

Qx=b是"拟同解"的关系:将Q的解向量进行适当的元素顺序调整即得到

A

A

A的解;如果Q无解,则

A

A

A同样无解

这部分内容作为线性方程组有解判定定理的基础铺垫,届时使用增广矩阵最为讨论对象

变换步骤

将矩阵行中最接近全零行的行调整到第一行

利用第一行将第一列到最后一列尽可能的零化(使得结果满足特点1,2)

A

=

(

3

1

5

6

1

−

1

3

−

2

2

1

3

5

1

1

1

1

)

→

r

1

↔

r

4

(

1

1

1

1

1

−

1

3

−

2

2

1

3

5

3

1

5

6

)

→

r

2

−

r

1

r

3

−

2

r

1

r

4

−

3

r

1

(

1

1

1

1

0

−

2

2

−

3

0

−

1

1

3

0

−

2

2

3

)

→

r

2

↔

r

3

(

1

1

1

1

0

−

1

1

3

0

−

2

2

−

3

0

−

2

2

3

)

→

r

3

−

2

r

2

r

4

−

2

r

2

(

1

1

1

1

0

−

1

1

3

0

0

0

−

9

0

0

0

−

3

)

→

−

1

9

r

3

(

1

1

1

1

0

−

1

1

3

0

0

0

1

0

0

0

−

3

)

→

r

4

+

3

r

3

(

1

1

1

1

0

−

1

1

3

0

0

0

1

0

0

0

0

)

A=\left( \begin{matrix} 3& 1& 5& 6\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 1& 1& 1& 1\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_4}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 3& -2\\ 2& 1& 3& 5\\ 3& 1& 5& 6\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{array}{c} r_2-r_1\\ r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\ \end{array}} \\ \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& 3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2\leftrightarrow r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& -2& 2& -3\\ 0& -2& 2& 3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{\begin{array}{c} r_3-2r_2\\ r_4-2r_2\\ \end{array}} \\ \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& -9\\ 0& 0& 0& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{-\frac{1}{9}r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& -3\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_4+3r_3}\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right)

A=

​3121​1−111​5331​6−251​

​r1​↔r4​

​

​1123​1−111​1335​1−256​

​r2​−r1​r3​−2r1​r4​−3r1​​

​

​1000​1−2−1−2​1212​1−333​

​r2​↔r3​

​

​1000​1−1−2−2​1122​13−33​

​r3​−2r2​r4​−2r2​​

​

​1000​1−100​1100​13−9−3​

​−91​r3​

​

​1000​1−100​1100​131−3​

​r4​+3r3​

​

​1000​1−100​1100​1310​

​

行阶梯形矩阵的条件比较宽松,同一个矩阵化为行阶梯型矩阵的结果可以是多种多样的

从一般行阶梯形矩阵化为行简化矩阵(最简矩阵)的过程(中间结果矩阵)都是行阶梯形矩阵

但是最简形式是一样的(行简化阶梯形矩阵)

行简化阶梯形矩阵@RREF

简化列阶梯形矩阵或简约行梯形式矩阵（reduced row echelon form），也称作行规范形矩阵（row canonical form），记为RREF-Matrix如果满足额外的条件：

阶梯形矩阵中非零行主元(第一个非零元素)为1

且主元所在的列的其他元素都为0

(

1

1

1

1

0

−

1

1

3

0

0

0

1

0

0

0

0

)

→

−

r

2

(

1

1

1

1

0

1

−

1

−

3

0

0

0

1

0

0

0

0

)

→

r

1

−

r

2

(

1

0

2

4

0

1

−

1

−

3

0

0

0

1

0

0

0

0

)

→

r

2

+

3

r

3

;

r

1

−

4

r

3

(

1

0

2

0

0

1

−

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

)

\left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{-r_2} \left( \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_1-r_2} \left( \begin{matrix} 1& 0& 2& 4\\ 0& 1& -1& -3\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_2+3r_3;r_1-4r_3} \\ \left( \begin{matrix} 1& 0& 2& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right)

​1000​1−100​1100​1310​

​−r2​

​

​1000​1100​1−100​1−310​

​r1​−r2​

​

​1000​0100​2−100​4−310​

​r2​+3r3​;r1​−4r3​

​

​1000​0100​2−100​0010​

​

一个矩阵的行简化矩阵是唯一的

等价标准形矩阵👺

Matrix equivalence - Wikipedia

Canonical form

The rank property yields an intuitive canonical form for matrices of the equivalence class of rank k as

(

1

0

0

⋯

0

0

1

0

⋯

0

0

0

⋱

0

⋮

1

⋮

0

⋱

0

⋯

0

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix} } }

​100⋮0​010​00⋱​1⋯​⋯⋯0​⋱​000⋮0​

​ where the number of 1s on the diagonal is equal to k. This is a special case of the Smith normal form, which generalizes this concept on vector spaces to free modules over principal ideal domains.

设A为n阶矩阵,其标准形矩阵满足:

其等价矩阵(行简化阶梯形矩阵)中,位于左上角的子矩阵是一个r阶单位阵(

r

⩽

n

r\leqslant{}n

r⩽n)

其余子块都是零矩阵(如果有的话)

note:当A是可逆方阵时,

r

=

n

r=n

r=n

C

=

(

E

r

0

r

×

s

0

s

×

r

0

s

)

r

+

s

=

n

(

r

⩽

n

)

,

当

A

可逆时取等号

C= \begin{pmatrix} E_r&0_{r\times{s}}\\ 0_{s\times{r}}&0_{s} \end{pmatrix} \\ r+s=n(r\leqslant{n}),当A可逆时取等号

C=(Er​0s×r​​0r×s​0s​​)r+s=n(r⩽n),当A可逆时取等号

等价标准形矩阵的性质

对普通矩阵A经过一系列的初等变换(包括行变换和列变换)得到标准形矩阵C,可以用初等矩阵乘法表示为

P

A

Q

=

C

PAQ=C

PAQ=C

其中

P

,

Q

P,Q

P,Q都是可逆矩阵,

P

A

Q

PAQ

PAQ表示对

A

A

A执行若干初等行变换和初等列变换 一个矩阵的标准型矩阵是唯一的

所有与矩阵A相等加的矩阵构成的集合中,标准形是形状最简单的

变换步骤

对于行最简形矩阵,设其有

m

0

m_0

m0​个非零行,由于不是每列都存在主元,非主元列的前

m

0

m_0

m0​行元素可能是任何数但是每个非零行都有主元1,只需要执行适当的列倍增,即可将非零且非主元元素化为0此时的矩阵未必所有的1都排列在主对角线上,但只需要执行若干列交换,就可以将矩阵规范为标准形矩阵

例

(

1

0

2

0

0

1

−

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

)

→

r

3

−

2

r

1

(

1

0

0

0

0

1

−

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

)

→

r

3

+

r

2

(

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

)

→

r

3

↔

r

4

(

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

)

\left( \begin{matrix} 1& 0& 2& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_3-2r_1} \left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \xrightarrow{r_3+r_2} \left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right) \\ \xrightarrow{r_3\leftrightarrow{r_4}} \left( \begin{matrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ \end{matrix} \right)

​1000​0100​2−100​0010​

​r3​−2r1​

​

​1000​0100​0−100​0010​

​r3​+r2​

​

​1000​0100​0000​0010​

​r3​↔r4​

​

​1000​0100​0010​0000​

​

将过上述变换,将一个一般的方阵A变换为一个与之等价的标准形矩阵

可转化性基本原理😊

可行最简化定理

由数学归纳法,任何非零矩阵都可以经过有限次的初等行变换转换为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵

可标准换定理

对于任意的

m

×

n

m\times{n}

m×n矩阵

A

A

A总是可以经过初等变换(行变换和列变换)化为标准形

F

=

(

E

r

O

O

O

)

F=\begin{pmatrix} E_r&O\\ O&O \end{pmatrix}

F=(Er​O​OO​)

此标准形由

m

,

n

,

r

m,n,r

m,n,r三个数完全确定(唯一确定)

其中

r

r

r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数

行阶梯形矩阵非零行数不变性

虽然行阶梯行矩阵不是唯一的,但是行阶梯形矩阵中的非零行的行数是唯一确定的

行最简化唯一性

利用初等行变换将一个矩阵变换为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵是重要运算解线性方程组时,只需要将增广矩阵化为最简形矩阵,即可读出线性方程组的解反之,由线性方程组也可以构造(还原)行最简形矩阵由此可以猜想

一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的

小结

任意矩阵都可以通过若干次初等行变换化为"行阶梯形矩阵"和"行简化阶梯形矩阵"任意矩阵都可以通过初等变换(包括行变换和列变换)化为等价的标准形矩阵